Sommersemester - Lösungen zur Prüfung 2, G, 18.Aug.2004

G   Lösungen Ingenieurmathematik Prüfung 2 18.August2004
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Geben Sie zwei arithmetische Operationen an, welche aus einer komplexen Zahl und der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl ein reelles Resultat erzeugen!

L 1a)

$z +\overline{z}$ und $z*\overline{z}$

1b)

Wieviele Nullen hat es in einer nxn Permutationsmatrix?

L 1b)

n*n-n

1c)

Wie nennt man die speziellen Lösungsverfahren, welche ein Gleichungssystem effizient lösen, falls die zugehörige Matrix eine Rechts- oder eine Linksdreiecksmatrix ist.

L 1c)

Rückwärtseinsetzen, Vorwärtseinsetzen

1d)

Wie lautet der MATLAB-Befehl, um die zu zeichnenden Punkte mit den Koordinatenvektoren xpl und ypl in einem Plot-Aufruf durch blaue Kreise zu markieren?

L 1d)

plot(xpl,ypl,'bo')

2)

Ein Turm einer modernen Kirche hat den Grundriss eines rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecks mit der Kathetenlänge von 5 m. Bei der Spitze, über dem rechten Winkel des Grundrisses ist das Kirchturmdach 4 m höher als bei der Unterkante, welche die beiden anderen Ecken horizontal verbindet. Berechnen Sie den wahren Neigungswinkel dieses Daches!

L 2)

n = cross([5 0 -4], [0 5 -4]') = [20 20 25]';
w=180/pi*acos(n'*[0 0 1]'/norm(n)) = 48.52$^{\mathrm{o}}$

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine nxn untere Dreiecksmatrix mit den Werten 5 füllt, jedoch von links oben beginnend nur so weit als noch gilt: $\mathrm{ (Zeilennummer)^2 + (Spaltennummer)^2 < 1.5*n^2}$

L 3)

n=8; M=zeros(n);
for zei = 1:n
for spa = 1:zei
if (zei2 + spa2)<1.5*n2
M(zei,spa) = 5;
end
end
end

4)

Ein (rechtwinkliger) Quader hat die Seitenlängen 4,8 und 2 in x,y und z-Richtung (4 in x, 8 in y, 2 in z). Die Ecken werden in der unteren Ebene (z=0) im Gegenuhrzeigersinn mit ABCD bezeichnet und korrespondierend in der oberen (z=2) mit EFGH. A sei im Nullpunkt. Bestimmen Sie die Ebenengleichung in der Hesse'schen Normalform für die Ebene durch die drei Punkte B,D,E und berechnen Sie alle Abstände der weiteren Quader-Eckpunkte von dieser Ebene.

L 4)

n=cross([4 0 -2]', [0 8 -2]'); en=[0.4364 0.2182 0.8729]';
en'*OP -1.7457 = 0 ; dA = -1.7457 ; dC,F,H = 1.7457 ; dG = 3.491

5)

Suchen Sie alle Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche die ``L'' -Figur (4/2) (4/0) (5/0) zuerst an der Geraden y=6 spiegeln und das Bild der ersten Abbildung um den Drehpunkt (4/12) um +90$^{\mathrm{o}}$  drehen.

L 5)

T1 = [1 0 0 ; 0 1 -6; 0 0 1] ; Mx = [1 0 0; 0 -1 0 ; 0 0 1];
T2 = [1 0 0 ; 0 1 6; 0 0 1]; L = [ 4 4 5; 2 0 0; 1 1 1]
T3 = [1 0 -4 ; 0 1 -12; 0 0 1] ; R = [0 -1 0; 1 0 0; 0 0 1];
T4 = [1 0 4 ; 0 1 12; 0 0 1]
Ttot = T4*R*T3 * T2*Mx*T1 = [ 0 1 4; 1 0 8 ; 0 0 1];
Ltr = [6 4 4; 12 12 13; 1 1 1]

6)

Geben Sie die Funktion des totalen Differentials $\Delta F$ an für die Funktion
$F(x,y,z) = \sqrt{y} \cdot (y^2 + 1/x^2 + x^2/z^2)$.