Sommersemester - Prüfung 1, R-G-B-Y, 2.Juli2003

R   Ingenieurmathematik Prüfung 1 2.Juli2003
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

impa030702

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Wieviele frei wählbare Zahlen weist eine symmetrische Matrix der Dimension nxn auf?

1b)

Wie nennt man eine quadratische Matrix für welche gilt $A^T = -A$?

1c)

Nennen Sie zwei Beispiele für dreifache Produkte derselben Rechtecksmatrix A und ihrer Transponierten A' in der Art von A'*A*A für welche die Matrix-Multiplikation bei beliebiger Rechtecksmatrix A legal ist. (Achtung! das Beispiel zeigt nur das Prinzip und ist nicht legal!)

1d)

Wie erreicht man in Matlab, dass nachfolgende zusätzliche plot()-Aufrufe in dasselbe Bild gezeichnet werden?

2)

Geben Sie die Abfolge der einzelnen Rechenschritte an, welche für ein allgemeines 2x2-System für das die L-R-Zerlegung A=L*R vorliegt die Lösung x des Gleichungssystems A*x=b liefern. Die vorgegebenen Werte sind also $l_{21}$, $r_{11}$ $r_{12}$, $r_{22}$, sowie $b_1,~ b_2~$.

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine nxn obere Dreiecksmatrix mit Werten füllt, welche dem Zeilenindex entsprechen. Zusätzlich sollen auf der Diagonalen, in der ersten Zeile und in der letzten (d.h. der n-ten) Spalte Nullen stehen.

4)

Bestimmen Sie eine Ebene durch die Punkte A(5/0/0) und B(0/5/0) C(0/0/h) so dass der Winkel zwischen dieser Ebene und der x-y-Ebene 30$^{\mathrm{o}}$  beträgt. und suchen Sie den Wert für h. (Winkel zwischen Ebenen = Winkel zwichen den Normalenvektoren.) Stellen Sie die Gleichung dieser Ebene in der Hesse'schen Normalform dar und bestimmen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs von dieser Ebene.

5)

Suchen Sie die Teil-Transformationsmatrizen und die Gesamt-Transformations-Matrix, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche den Rhombus mit den Ecken A=(5/6), B=(4/3), C=(5/0) D=(6/3) um +90$^{\mathrm{o}}$  (im Gegenuhrzeigersinnn) um die Ecke A dreht. Bestimmen Sie auch die gedrehten Koordinaten A'B'C'D'.

6)

Suchen Sie die Parameter zur unten gezeichneten archimedischen Spirale durch die Punkte (0/-2) und (0/-6) und geben Sie ein Matlab-Skript an, um diese in kartesischen Koordinaten zu zeichnen.