Sommersemester, Prüfung 1, G, 3. Juli 2002

G   Ingenieurmathematik Prüfung 1 3.Juli2002
Zeit 90 Minuten, Reihenfolge beliebig, 8 Punkte pro Hauptaufgabe, 40 Pt. = N.6.

1)

Verständnisfragen: Es werden nur ganz kurze Antworten erwartet.

1a)

Welche zusätzlichen Eigenschaften können Kurven in Parameterdarstellung (z.B. Zykoiden) aufweisen, die bei gewöhnlichen Funktionsdarstellungen unmöglich sind?

1b)

Wieviele frei wählbare Zahlen weist eine untere Dreiecksmatrix der Dimension nxn auf, wenn die Diagonalelemente alle den festen Wert 1 haben (wie z.B. bei der L-R-Zerlegung)?

1c)

Welche Eigenschaften der Graphischen Darstellung kann man in der Matlab-Funktion plot() mit den String-Parametern (in Einzel-Apostroph '  ' eingefasst) beeinflussen?

1d)

Wie heissen die beiden Produkte zwischen zwei Vektoren, welche für beliebige Dimensionen funktionieren?

2)

Bestimmen Sie die Bedingungen, die für $r,~s,~t,~u$ gelten müssen, damit die Matrix M die Bedingung $M^2 = I$ erfüllt:
$${ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & r & s \\ 0 & t & u \end {array} \right)}$$

3)

Schreiben Sie ein Matlab-Skript, das eine 2nx2n linke untere Dreiecksmatrix ab der Diagonalen und bis zur halben Matrix-Dimension mit den Zahlenwerten 2 füllt! Das Dreieck links unten mit den Extrempunkten $M_{n+1,1}$ $M_{2n,1}$ und $M_{2n,n}$ besteht dann wieder aus Nullen.

4)

Suchen Sie die Permutationsmatrizen $Pl$ und $Pr$, so dass die folgende Matrizengleichung für beliebige Werte der Matrix A gilt!
$${ \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0& 0 \\ d_4 & d_3 & d_2 & d... ... c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{array}\right) \cdot Pr }$$

5)

Suchen Sie die Gesamt-Transformations-Matrizen, in homogenen Koordinaten der Ebene, welche den Winkel R=(0/2), S=(0/0), T=(2/0) mit den Ecken des Quadrates A=(0/0), B=(6/0), C=(6/6) D=(?/?) zur Deckung bringen. (d.h. die Bilder der Ecke S liegen auf den Quadrat-Ecken und die Bilder der Schenkel SR und ST verlaufen entlang den Seiten des Quadrates.

6)

Gesucht ist die Gleichung in der Hesse'schen Normalform für die Ebene im Raum, welche parallel zur Ebene durch die Punkte A=(6/0/0), B=(0/8/0), C=(0/0/6.4) verläuft und welche durch den Punkt T=(10/10/10) geht.